NO ANDROID

1) Primeiro é preciso saber se o aparelho suporta a exibição do Emoji. Usando o dispositivo, vá ao artigo sobre o teclado na Wikipédia (neste link) e desça até "In the Unicode standard", caso os emoticons apareçam, siga um dos passos a seguir; do contrário pule para a dica 4.
2) Veja nas configurações se há um teclado chamado iWnn IME, ele desbloqueia o Emoji. Vá em Configurar > Idioma e entrada, procure o iWnn IME e ative-o. Assim, sempre que precisar, durante uma digitação, use a barra de espaço para trocar entre os teclados.
3) Veja se há um complemento com Emoji pronto para ser instalado (geralmente a partir do Android 4.1). Vá em Configurar > Idioma e entrada e, em Teclado do Google, acione as configurações. Lá, procure Dicionários complementares e escolha uma das opções - geralmente Emoji para palavras em inglês ou francês.
Fazendo isso, ao digitar, em inglês ou francês, palavras que equivalem a emoticons, elas serão substituídas pelos desenhos - "smile", por exemplo.
É possível criar atalhos personalizados para esses emoticons. Vá em Configurar > Idioma e entrada; em Teclado do Google, acione as configurações e procure Dicionário pessoal. Escolha o teclado Emoji e toque no + para adicionar um atalho.
4) Se não tiver o iWnn IME, baixe um aplicativo de texto que suporte Emoji, a Google Play está cheia deles. Há o Emoji Keyboard, o Swype, o SwiftKey, o Fleksy e o Minuum, por exemplo.
NO IOS

Quem tem iPhone, iPad ou iPod touch percorre um caminho muito mais simples, porque os aparelhos usam o mesmo sistema operacional. Até o iOS 5 era preciso baixar um aplicativo que ativasse o Emoji, mas da versão 6 em diante isso não é mais necessário.

Vá em Ajustes > Geral > Teclado > Teclados > Adicionar Novo Teaclado. Lá você encontrará o Emoji.

Fazendo isso, sempre que for digitar, toque no ícone de globo ao lado da barra de espaço e você verá os emoticons aparecerem.